圓形球體如何擺比較藝術

⑴ 為何圓形球型是最完美的型狀這符合什麼哲學原理

我們從遠距離看，無論什麼形狀的東西，一個人、一台車、一幢樓、一個村莊、一座城市……都不過是一個圓點。
公元前4世紀，柏拉圖經過研究認為，宇宙中最完美的形式是球形。而人類所居住的大地也應該具備最完美的形式。大地只有呈球形才能適應的「宇宙和諧性」。
圓意味著圓滿。與圓相對的是缺，非圓即缺。和其它形狀比較起來，最方便我們觀察乃至構成全面認識的也是圓形。三角形呈現給我們的是三分之一的面積，正方形呈現給我們的是四分之一的面積，而圓形呈現給我們的是二分之一的面積。作為發光體，作為光源，圓形所提供的相對於其他形狀來說，也是最大范圍的光照。
最主要的是，當我們把由無數的真理組成的總體結構設想為一個變化著的圓形球體的時候，就可以方便地揭示並說明真理間的若干關系了。

⑵ 跪求，這種球體應該怎麼畫特別是中間的過渡如何表現的自然

PS製作很簡單的

⑶ 如何畫好球體

用上海的中華筆就好了，最好不要超過4B，也盡量少用H型的。畫圓要了解圓的結構，也就是結構素描，臨摹只是了解形體，重在寫生。排調子簡單，把紙折成一排一排的，線條要齊，沒有勾，之間密度小，均勻，要細。
如果你是要搞專業的話，我還是建議你找個老師，幾乎沒有自學畫成才得。

⑷ 美術球體怎麼畫

美麗的球體想要更好的話，需要抓住事物的主要特徵，具體的細節要點形態才能達到理想的繪畫效果。

⑸ 圓和球的直觀圖怎麼做

圓用圓規畫，球是在圓的基礎上（在圓的一條直徑上）畫一個扁的橢圓

⑹ 怎麼用紙做一個球體越圓越好 是像足球那樣的圓的球體 急啊！！！步驟越詳細越好 教會的給分！！

先准備：
二十張圓形的紙，要象吃飯的碗口那麼大，外面要紅色才好看。橡膠圈大約八十個。
製作：
把這二十張紙的邊上折成六條線，使每張紙都成六邊形、然後用橡膠圈把這些紙一張一張的扎連接起來（一個橡膠圈扎兩張，橡膠圈正好扎在折的那條線上），等你把准備的紙全部扎完後，就形成了一個空心球狀的火球了。
1.拿一個氣球，將它吹起來；
2.把餐巾紙在乳膠里沾一沾，一張壓一張（別全壓著，壓一半就行）貼在吹起的氣球表面；
3.用紙將氣球完全覆蓋，等紙完全乾後，把氣球里的氣放掉，將氣球小心取出即可。
在紙上畫一個矩形，上下個剪成鋸齒狀，然後鋸齒一連接即可得到圓。
注意：剪的鋸齒越多，就越接近於球體。
或者看看你家地球儀去。

⑺ 為什麼我的圓球體畫得不好

我來回答，靜物素描寫生是整個素描教學內容不可缺少和十分重要而且應該先行進行的重要課題。平面立體造型的正確觀察方法和表現方法，法則、步驟、畫面構成、表現物象的體積、質感、空間感的能力以及審美意識的培養都要通過由簡到繁、由淺入深、循序漸進的景物寫生去研究和掌握，只有經過這一良好的訓練，才能為順利地進入石膏像、人像、人體素描寫生奠定扎實而靈活的基礎。

靜物素描寫生是景物素描寫生的重要內容，是繪畫入門的不可缺少的課題。它能使初學者逐步掌握立體造型的比例、透視、形體結構和明暗規律，鍛煉其組合畫面、表現質感、描繪空間關系的本領。因此，靜物寫生是進入石膏頭像、人物頭像、人物肖像和人體寫生奠定基本功的重要階段，決不可輕視。初學者遵循由簡到繁、由淺到深、循序漸進的學習方法，扎扎實實地進行，方能有效。

素描學習要解決眼睛、對象和畫面三者之間的關系，要運用辯證唯物主義的觀點將自然形態與藝術形態、生活真實與藝術真實、對象與畫面嚴加區別，不能機械地照抄對象。同時還要注意三個方面的能力的鍛煉，這就是：准確的造型能力、藝術的表現對象和審美能力。在學習的不同階段，重點應有所側重。首先談談素描中科學、正確的認識方法：

1、整體觀念：整體的觀察對象是素描的關鍵。整體感是素描基本功訓練的核心，整體的觀察和表現成為畫家的本能和習慣。整體性是一幅畫的生命之所在。

孤立地局部觀察和表現對象，是初學者的通病，素描之大忌。學會整體的觀察對象是糾正畫面缺點的妙方。任何時候都要通過對象的全體，物與物之間的互相聯系，進行互相必較。有比較才能分辨出物體的大與小、長與短、直與曲、正與斜、近與遠、明與暗、平與凸、硬與軟、疏與密、實與虛等，一條線或一個色塊很難判它的正誤，只有畫出兩個以的線和色塊，才能評論它的比例關系，明暗關系的正確與否。素描過程就是「畫關系」，必須從大處著手，畫上看下、畫左看右、畫內看外、畫近看遠，在不破壞大關系的前提下，再去描繪局部的關系。安格爾說：「向整體要答案」。這足見整體觀念對畫好素描是何等重要。

2、結構觀念：結構指得是物體的結合與構造。客觀物質存在往往以復合狀態出現，這就存在著各種物質狀態的組合與構造問題。研究物象的結構是造型的基礎。各種物體如桌椅板凳、瓶罐碗盞、水果蔬菜、鳥獸標本等，都有他們特定形狀和結構。初學者往往只觀察和描繪對象的外輪廓，而忽視結構的理解和分析。羅丹說：「沒有線，只有體積，當你在勾描的時候，千萬不要著眼於輪廓，而要注意形體的起伏，是起伏在支配輪廓。」因此，作畫時要特別注意研究對象的結構關系，體面轉折的來龍去脈，才能立體和准確的表現對象。

3、立體觀念：要立體的觀察對象，不能平面的觀察對象。繪畫就是以在平面上表現物體的立體空間為特徵的,所以也稱空間藝術。立體的基本要素是高度、寬度和深度，既人們常說的「三維空間」。

在平麵塑造立體是離不開透視的。因此，學畫者應具備一定的透視知識，對視點、視平線、消滅點、平行透視、成角透視、傾斜透視、圓的透視，要有明確的概念，不妨閱讀較淺的透視學，這里不做詳述。重點對立方體、圓柱體與球體透視規律作簡要的論述，只要掌握這三個形狀的基本規律，其它較為復雜的形體也是由其原理演變而來的。以後畫頭像或人體，這三個形體的基本原理，也還是起重要作用的。

立方體是最基本的形體，靜物中很多日用品都是立方體的造型，如桌椅凳櫃、墨水盒、葯箱、糖盒、書籍等，它們僅僅是長、寬、高的比例發生了變化，透視原理與立方體完全相同。立方體有六個面組成，每個角度90度，透視變形後，平行透視與畫面平行的面不變外，其餘的面都要向心點消失。成角透視的六個面都發生透視變化，所有的面都向視平線兩側的余點消失，所有的角都不是90度，都大於或小於90度。同樣大的物體會產生近大遠小的變化。立方體的垂直線近長遠短，它的面是近寬遠窄。凡水平面距視平線越遠越寬、越近越窄，當與視平線重合時，這個面就變成一條線了；凡直立的面距視中線的遠近也會發生同樣的變化，在靜物寫生中視平線和消失點有時不在畫面之內，但透視原理是不變的。

與形體透視一樣,明暗調子和色彩也有透視,離畫者近的物體明暗對比強烈清晰。越遠的物體明暗對比逐漸減弱模糊。凡淺色的東西明暗對比強烈，深色的物體明暗對比相對減弱。背光面的暗色愈近愈重，愈遠逐漸變淡。相反，受光面愈近愈亮，愈遠逐漸變灰。

圓柱體在日常用品中像熱水瓶、茶壺、茶杯、酒瓶、罐頭、筆筒、筆桿等，都是圓柱體形狀的。圓形透視是從方形透視中求得的。只要畫出方形的透視圖，將四角用對角線相交，得出交點，再畫水平線或垂直線，就得出圓形透視後的中心線，在這個范圍內便可以畫出圓形的透視圖來，近圓弧度大，遠圓弧度小。初學者最容易出現的錯誤是：將近圓或遠圓畫成相等的橢圓形；或將近圓畫平，遠圓畫得大於近圓的弧度；或將兩角畫尖，這都破壞了圓的正確的透視形態，給人的視覺是不圓的。圓形距離視平線，視中線的遠近不同，也與方形透視原理相同，愈近愈窄，愈遠愈寬。因此，圓柱的上圓與底圓弧度也不相等，例如：圓柱在視平線以下，底圓的弧度大於上圓的弧度。

圓柱的立體感的獲得，可將柱體分為若干平行並列的透視面，再藉助於明暗表現。我們常說的「五調子」在圓柱體上反映的最為明確。「五調子」即明調子、灰調子、明暗交界線、暗調子、反光。凡是有經驗的畫家都會運用「五調子」的規律來表現物體的立體感和空間關系。

球體形狀在日常用品也是常見的，如壇子、茶壺、蘋果、梨、桔、蛋、球類等。有些是規則的球體，有些近似球體。掌握球體的表現方法和造型原理是很重要的，球體是無數個面組成的，是多圓周交叉形成的小面，如同繞毛線團一樣，各種方向纏繞才能將它繞成圓球。球體從任何角度觀察，它的四面八方都要深進去，理解球體的這一特徵，對表現它的立體感十分重要。它也得藉助「五調子」的原理體現立體感。與圓柱體不同的是，圓柱體是平行並列的結構，球體則是多圓周交叉的結構，明暗調子弧線型，「五調子」的各個面不能是同等的色度，縱橫都有變化，色階也應不同，這樣才能表現出球體的立體感。

4、比例觀念：萬物之間的形體千變萬化，有大有小，有長有短，有寬有窄，都以各自比例的不同來區別物體的基本形狀，達芬奇說：「比例是藝術之母和女王，比例不僅在數和度量中，而且也在聲、重力、時間、位置、或任何力中都可以找到。」初學者比例觀念淡薄，忽視了物體與物體之間以及物體本身的比例關系，這很難畫准物體的具體形象。我們應該清楚的知道，素描用的紙是有限的，但在畫家的眼中，它卻是無限的空間，可以畫出極大的東西，也可以畫出極小的東西。畫「萬里長江圖」不需要萬里長絹；畫高樓大廈也找不到那樣大的紙張，畫家都是運用比例關系的不同來表現物體之間的差異。在素描學習過程中，培養和鍛煉准確的觀察判斷比例的能力，有著十分重要的意義。

以上四點主要解決造型能力准確性的問題。但在素描中不能只追求自然的准確性，還得追求藝術性的准確性。藝術性又有「內功」與「外功」之分。內功是指科學的觀察認識對象。畫前重在立意，一組景物擺在面前，給人的主要感受是什麼？怎樣才能把握它的構成、特徵和情趣。有了總體的認識和總體設想，在畫的過程中才會避免盲目性，增強自覺性。

「藝術就是感情」。作畫要表現感情，畫者要用感情作畫。那種抱著冷冰冰的態度將眼睛所能看見的各種細節不加區別地如實摹擬，就很難取得良好的效果。一組靜物很難擺得在任何角度看去都十全十美，這就要求在形體、透視准確的前提下，將某些不全的現象捨去或減弱，某些物體的位置可作適當調整。主題的東西不一定放在最前，而非主題的東西則可能放在最前邊。初學者往往機械的運用透視遠理，有時將次要的東西畫得具體清晰，將主要的畫得粗糙模糊，使畫面畫得喧賓奪主。景物的主題部分應充分表現，恰當刻畫，次要的東西要省略。這就需要組織畫面，進行藝術的概括、提煉、取捨和加工，這就是素描的基本功。所謂「外功」，是指藝術的表現手法，中國畫講究筆墨氣韻，素描也講究點、線、面的生動表現。藝術手法的提高，主要靠長期的實踐，經常積累點滴經驗，在偶然中找出必然性來。黃賓虹先生說的好：描法的發明，非畫家憑空杜撰，乃各代畫家在寫生中，了解物狀與性質後所得。「外師造化，中得心源」，是提高藝術表現技巧的主要途徑。向古今中外藝術大師的作品學習、臨摹，也是提高藝術技巧的另一重要途徑。要十分注意提高自己的審美能力，只管「像不象」，不管「美不美」是違背藝術規律的，因此，在素描各階段都要啟迪美的感覺，培養審美能力使素描不僅畫得准確扎實，還能給人以美的享受。

怎樣畫靜物寫生

靜物設置：靜物的內容廣泛，大凡日用器皿、水果、蔬菜、花卉、工藝品、工具、家庭用具、動物標本等，都可以作為靜物的內容，初學者應遵循由簡到繁、先易到難的原則。開始階段應選則構造簡單、色彩單一的物品，逐漸過度到描繪結構復雜、色彩豐富、不同質感的物品。靜物設置應符合人們的生活習慣，內容協調統一。要選擇造型不同，大小不一、色彩上黑、白、灰層次分明的物品。擺靜物不可草率從事，應反復推敲精心設計。一組靜物應主題突出，層次分明，物與物之間應有聚有散，有前有後，有次有主，搭配恰當，互相照應，切記將各種物品等距排列，上下重疊，或者亂七八糟的堆砌，形成多中心，這對畫面的構圖甚為不利。襯布應襯托主體，褶紋不能凌亂，疏密要有變化，褶紋的方向也要有節奏韻律感。要擺得富有情趣，具有強烈的感染力，才能激起畫者的激情和表現慾望。

下面結合「圓球和方凳」的寫生，對靜物寫生的步驟敘述如下：

寫生前的分析與思考：

這組靜物取形體規則的石膏圓球和結構復雜的方木凳為基本主體，構成雖簡單，但在寫生時，對形體結構的要求卻是十分嚴格的。圓不圓、方不方、透視准確於否、一目瞭然，而且每個細節環環相扣，如果有一處不正確，整個形體就榫接不好，促使初學繪畫的學生非得反復修改不得其形准確，較長時間停留在調整輪廓階段。石膏圓球，只有一條邊線輪廓，更多的通過色階的過渡來表現形體，方木凳可以當作一個能看到後側兩個面的立方體，立方體更多是通過角與邊輪廓線的連接表現形體。將各具不同造型的圓形、方形組合在一起以增加對比因素。靜物中還擺放一條毛巾，至上而下，起到構圖的平衡和色調上的完整作用。

（1） 掌握學習重點：

學習立方體造型的規律，認識光、色、體在形體塑造中的作用。寫生中既注重理性的形體分析、又講究素描效果的技巧運用。正確處理透視關系。

（2） 作畫步驟一：

下筆前首先考慮構圖，目的不僅是能夠把物體都裝進畫面，更重要的是求得構圖合理與完整。這組靜物的布局是呈上下結構關系，因此適合用豎構圖。其中圓球上方的空白不宜留得過多，否則會使構圖顯得下墜、木方凳腳下應留有足夠的餘地，否則會使構圖產生被截掉一節不完整的感覺。

起輪廓宜用直線、長線、這樣可以跨越一些小細節，能夠從大的方面去概括形體。即使是畫圓球，也要先用直線畫成一個正方形平面，然後一步一步地切割正方形的四個角，使之最後形成一個規則的圓形。

正確的表現透視，此畫作者的視平線高於木方凳上端的平面，確立木方凳上端的平面畫多少，應該與確定木方凳四條腿畫多長、聯系起來考慮。初學畫者的位置不要距離靜物太近、以免物體的透視變形過大，而難以把握。

作畫步驟二：

構圖有了，物體大的輪廓初步確定後，接著就要抓緊校正物體形象的准確性和落實物體之間明暗調子的區別，初步形成整幅畫面色調關系的整體布局。具體有以下內容：

在圓球外輪廓內界定出球體的明暗交界線。

在木方凳每根木條的榫接關系調整好後，將主要的明暗關系區分出來、特別是前邊兩條腿與後面兩條腿的深淺差別，同時根據木方凳的固有色比較深的情況，還要罩上一曾灰色，讓它與白色的圓球和布區分開。

為了使主體的輪廓更清晰，便於進步修改、調整其形象，還要在背景上平塗上一遍灰色，這樣除了能將主題與背景分別開來，消掉大部分輪廓線，還能營造出有空間感的畫面效果。

作畫步驟三：

完成了由線條表現輪廓向用色塊表現體面的轉換，就為進一步深入刻畫提供了基礎。因此充實、豐富各個物體的細節、並進一步呈現各物體的質感是這個階段的主要內容，具體有幾點：

在圓球上，要反映出受光、背光、反光面幾塊大的區域的劃分，但必須通過組織許多過渡面去實現，不能用平塗和抹的辦法。完成用明暗色調代換木方凳的輪廓線，並轉向尋找最能體現木凳質地細節進行描繪。

白布穿插於深色木方凳之中，起著趁托木方凳的作用，因此在描繪它時，始終清醒它是一塊白色的布，注意把握固有色。

作畫步驟四：

經過全面、充分的刻畫過程，把靜物寫生推至後期重點刻畫階段。如果總是平均的對待每個局部的描繪和無至盡的羅列細節，會使畫面無序和雜亂，造成視覺興趣中心過於分散，因此，這個階段的深入刻畫，應具有選擇性，突出重點，注意掌握調整虛實關系。做到精細之處可以細微表現物體的肌理組織，粗略之處可以寥寥數筆、輕松帶過許多不要的內容。

一間房的居室設計，要把形式、色彩、功能統一起來，使之互相協調，既實用，又具有藝術性。

在設計時，對室內空間的利用和開發，是居室設計的主要方向，為了使現有的空間更好地利用起來，可採用如下方法：

1、用眾多高大的植物裝飾居室，可使雜亂的房間趨向平穩和增大感。

2、在室內採用靠牆的低櫃和吊櫥形式，即充分利用了空間，也避免了局促感。

3、對於小空間和低空間的居室，可以在牆面、頂部、櫃門、牆角等處安裝鏡面裝飾玻璃，通過玻璃的反射，利用人們的錯覺，收到室內空間的長度、寬度、高度和擴大空間境伸感的效果。

4、在室內空間較小，但室內空間較高的房間內，可以利用空間高度的變化壓低部分頂棚或抬高部分地面，以形成空間對比，創造一種帶有戲劇性的室內空間氣氛。

5、用豎線條紋圖案來裝飾室內牆面，使人在感覺上有了室內空間長高的感覺。

6、在牆面上貼同一花樣和材料的牆布以及床罩、窗簾等，能夠使房間倍感親切，也在視覺上擴大了空間。

7、在設計時，應注意室內空間流通，減少阻擋視覺空間流通的傢具和陳設，使空間有延伸感。 17889希望對你有幫助！

⑻ 圓形如何變球體

球體
空間中到定點的距離等於定長的所有點組成的圖形叫做球，球體是一個連續曲面的立體圖形，由球面圍成的幾何體稱為球體。
中文名稱
球體
外文名稱
Sphere
表面積公式
S=4πr^2

公式說明
r是球的半徑
體積公式
V= (4/3)πR^3
半圓以它的直徑為旋轉軸
，旋轉所成的曲面叫做球面。
球面所圍成的幾何體叫做球體，簡稱球。
球面所圍成的幾何體叫做球體，簡稱球。球體
半圓的圓心叫做球心。
連結球心和球面上任意一點的線段的長叫做球的半徑的大小。
連結球面上兩點並且經過球心的線段的長叫做球的直徑的大小。
球的表面是一個曲面,這個曲面就叫做球面。
球和圓類似,也有一個中心叫做球心。

⑼ 關於圓和球的難題

對不起，太難了，我無能為力。 不過我可以提供一些資料。
國外科技動態 RECENT DEVELOPMENTS IN SCIENCE & TECHNOLOGY ABROAD 2000 No.7 P.30-32
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數學證明及其優美性
過去數學證明通常簡捷而優美，但現在它們更像是洋洋灑灑的《戰爭與和平》甚至枯燥無比的電話簿。人們不禁質疑：優美的數學證明是否已經成為一種失去了的藝術？ 歐幾里德以簡捷、優美、充滿智慧的數學論證為世人所仰慕。人們都為數學的優雅和數學世界的美麗而驚嘆，也為能理解其證明的正確性而高興。 性情古怪但又聰明絕頂的數學家Paul Erdos斷定上帝有一本關於所有最佳數學證明的書。在他看來，數學家的工作就是越過上帝的肩膀偷看一下那本書，並將上帝的智慧傳遞給人類。 但是現在看來這種簡單、優美的方法只是幾種數學證明方法之一，審視一下過去幾年知名的數學證明，其已不是那種為希臘人所知的簡短緊湊的證明，而是及其龐大，有幾百頁乃至幾千頁之巨。上帝創造的優美性出了什麼問題？這些龐大的證明真是必需的嗎？其之所以如此龐大是否是因為數學家愚蠢到不能找到「上帝之書」中所寫的簡短而聰明的證明方法？ 答案之一是簡短的數學論述未必有簡短的證明。奧地利出生的數學家Kurt Godel原則上證明了有些簡短的數學論述需要很長的證明，但他不知道哪些數學論述是這樣的，其他人同樣如此。 過去幾年中一些重要的數學證明都冗長而復雜，例如由美國普林斯頓大學的數學家Andrew Wiles於1996年證明的費馬大定理。為了解決這個難題，Wiles使用了大量的數學方法，對問題進行拆解，結果得到的證明一點也不枯燥和煩瑣，反而顯得豐富而優美，雖然不像「上帝之書」中的證明那麼簡短，但也像一部《戰爭與和平》。 費馬大定理的形成過程值得一提。1637年，具有非凡數學才華的法國律師費馬(Pierre de Fermat)在他的個人著作《Arithmetica of Diophantus》中闡述了一個重大定理，其與畢達哥拉斯的定理a2+b2=c2(其中a、b、c為整數)有關，有眾多不同的a、b、c值滿足這個等式，每一組值都構成了一個直角三角形的三個邊，其中c為斜邊。 費馬嘗試使三次方或四次方的等式也成立，但卻找不到實例。換句話說，他無法發現一個使an+bn=cn成立的方程式，其中a、b、c為整數(a、b、c≠0)，n為大於2的整數。這是否意味著這種等式不可能存在呢？在其著作的邊緣空白處，費馬寫到他已經想到了一個絕妙的方法證明畢達哥拉斯定理只適用於二次方，但他又註明「地方太小，無法寫下這個證明」。 這樣一個證明方法雖然在書的邊緣寫不下，但也肯定是簡捷而優美的，可以在「上帝之書」中佔有一席之地。然而三個半世紀以來，一個接一個的數學家嘗試著去尋找它，但均以失敗告終。然而在20世紀80年代末期，普林斯頓大學的英國數學家Andrew Wiles著手攻克這一難題。他在其屋頂閣樓獨自工作，僅告訴了幾個發誓替他保密的同事。 Wiles使用的方法和前人一樣，假設滿足等式的a、b、c、n存在，然後希望能夠用代數學的方式導致矛盾。他的這一出發點起源於德國Essen大學Gerhard Frey的想法。Frey認為用費馬的「不可能存在」的等式的三個根a、b、c可以構成代表橢圓曲線的三次方程。這是一個聰明的辦法，因為數學家研究橢圓曲線已經有一個多世紀了，並掌握了很多處理橢圓曲線的方法，而且那時數學家們已經認識到由費馬等式的根產生的橢圓曲線有奇異的特性，與另一個稱為Taniyama-Shimara-Weil的決定橢圓曲線性質的猜想相矛盾。 費馬等式的根將否定Taniyama-Shimara-Weil猜想，意味著如果證明猜想是正確的，則費馬等式的根就不可能存在。因此Wiles花了7年的時間用數論的方法解決了這個問題。盡管他獨自工作，但他不是獨自創立了這個領域，他與橢圓曲線領域最新的進展保持著密切的接觸。如果沒有眾多的數論專家創造的一系列新方法，他可能不會成功。即便如此，他本人的貢獻也是巨大的，他將這一領域推進到了一個嶄新的時代。 Wiles的證明目前已全部出版，它有100多頁長，當然要寫在書的邊緣是太長了。Wiles發明的證明費馬大定理的方法極其豐富而優美。他的思想開創了數論的嶄新時代。當然他的證明很長，只有這一領域的專家才能理解其中的具體內容。 還有第三種數學證明的方法，只是在過去的30年中才出現，這就是計算機輔助證明。它就像一個提供單調、重復的三明治的快餐商店，可以完成這方面的工作，但結果一點也不優美。計算機輔助證明所做的工作就是將通常很聰明的解決難題的方法變為巨大的、程序性的計算，然後交給計算機，如果計算機說「對」，則證明就完成了。 去年就出現了一個使用這種證明方法的例子。1611年，約翰尼斯*開普勒(Johannes Kepler)在研究將球堆放在一起的方法時，得到的結論是在一個給定的空間放入最多圓球的最有效方法是水果商碼放柑橘的方法，先呈蜂窩狀的碼放一層，然後再在其上面碼放同樣的一層，但位於第一層的凹處，如此一層層碼放。這種碼放的方法也出現於許多晶體中，物理學家稱之為面心立方晶格。 開普勒的結論是「顯然的」，但理所當然這么想的人缺乏敏銳的判斷。例如，當時甚至沒能證明最有效的碼放方法還包括水鋪法。雖然水果商是一層層碼放貨物的，但並不一定非要如此。即使是這一問題的二維空間版本，即在平面上鋪放同等大小的圓的最有效的方法是蜂窩狀鋪放，也直到1947年才由匈牙利數學家Laszlo Fejes Toth證明。約10年前，美國加州大學的Wu-Yi Hsing宣布證明了這一問題的三維版本。證明長達200頁，但是其中的推理缺乏連貫性，漸漸的其他數學家拒絕接受這一證明。去年美國密歇根大學的Thomas Hales宣布了一個計算機輔助證明，有幾百頁之長並附有一大堆計算結果，此證明最先發表在他的網頁上，現在正在接受同行的審核以期在數學期刊上發表。 Hales採用的方法是記錄下所有堆放小球的可能方法，然後證明如果堆放方法不是按照面心立方晶格結構，則可以通過細微的調整進行壓縮。結論是唯一的不可壓縮的堆放方法，即最有效填充空間的方法是猜想的那一種。Toth也是這樣處理二維問題的，他列出了約50種可能的鋪放方法，而Hales要處理幾千種，計算機要證明這些大量的不同方法需要3G的內存。 最早使用這種計算機方法的數學證明之一是四色原理。約150年前，英國數學家Francis Guthric提出是否所有包含任何形狀國家的地圖都可用四種顏色圖色，即可使相鄰國家有不同的顏色。這一原理聽起來簡單，但要證明卻極其困難。1976年美國數學家Kenneth Appel和Wolfgang Haken發現了證明方法，通過反復試驗和手工計算，他們先提出了近2000種國家的組合，然後用計算機證明這些組合是「不可避免的」，即任何可能的地圖中的國家排列至少是這些組合中的一種。 下一步是證明這些組合中的任何一個都是「可縮減的」，即每一種組合的一個部分都可縮減去掉，成為一個簡單的地圖。嚴格地說縮減必須保證如果縮減後的簡單地圖可以用四種顏色圖色則原地圖也可以。 現在想像一下需要用五種或更多種顏色圖色的最簡單的地圖，即所謂的「最小違反圖」。像所有地圖一樣，這個地圖肯定至少包含二千種可縮減組合之中的一個，縮減所包含的組合就可得到比「最小違反圖」更簡單的地圖，其肯定只需要四種顏色，這也意味著「最小違反圖」只需要四種顏色即可，避免這一矛盾的唯一可能是「最小違反圖」不存在。 實際上在證明過程中用到了更多的方法，而不僅僅是縮減地圖。為每一個組合尋找相應的縮減方法需要大量的計算機運算，使用當時最快的計算機也需要2000個小時，但使用現在的計算機只需1個小時，最終Appel和Haken得到了答案。 計算機輔助證明在風格、創新性、方法和哲學等方面帶來了一系列問題，有些哲學家認為就傳統意義而言用計算機證明方法得到的根本不是證明。而另外一些人卻指出，這種大量的、程序性的工作正是計算機的特長，卻是人類的弱點，如果一台計算機和一個人同時經過大規模的計算後得出不同的結論，則賭注應該壓在計算機上。 計算機進行的任何計算都是平常、單調的，只有人們將其引深後才有價值。如果說Wiles對費馬大定理的證明內涵豐富、充滿思想性，像一部《戰爭與和平》，則計算機證明更像一本電話簿，沒有人願意讀這種東西。而事實上像Appel-Haken和Hales的證明從文獻閱讀的角度說還太短了，其僅是用於審核。 然而這些證明並不缺乏優美性和深度，畢竟要有足夠的智慧才能使計算機能夠解決難題，而且當證明了猜想的正確性後，也許能試著去尋找更優美的證明方法。這聽起來有些奇怪，但往往證明已經知道其正確性的事情很容易。在數學家之間有可能會聽到這樣的對話，有人會開玩笑地建議可以散布某一重要的難題已經解決的謊言，這樣可以使其他人更容易地找到證明方法。這是否意味著數學家們能逐漸地發現上帝對開普勒、費馬和其他定理的證明呢？如果是這樣的話當然很好，但這可能不會遂人所願，也許在「上帝之書」里根本沒有這些定理的證明。沒有理由認為陳述簡單的定理也必然有簡單的證明，人們都知道有許多做起來極其困難的事情說起來卻十分簡單，比如「登月」、「治療癌症」等，數學也不例外。 專家們經常會對復雜冗長的證明或有些人提出的另外的簡化證明方法的錯誤性印象太深刻了，雖然他們經常是對的，但偶爾也會由於知道的太多而使他們的判斷力受到影響。這好比有一座高山，一條曲折的山路是登頂的很自然的道路，但如果這座高山充滿了冰川和溝壑，這條路就可能極其漫長和艱險，也許這條似乎是唯一選擇的路途中還有不可攀登的懸崖峭壁，然而有可能發明直升飛機使你可以快捷容易地到達頂峰。因此有些人會偶然地發現類似的方法證明專家是錯誤的。 請記住Godel和其發現的某些數學證明必定很長這一理論，也許四色定理和費馬大定理就是其中的例子。就四色定理而言，可以通過計算證明如果使用目前的方法，即找出一系列不可避免的組合，然後用「縮減」的方法一個個排除，則不可能有更簡短的證明。這就如同登山時遇到了冰隙，當然也不排除會有「直升飛機」的出現。 回到費馬在其著作上的潦草注釋這一問題上。如果人類能夠發現的最佳證明只能如此龐大，那麼為什麼費馬會那樣註解呢？他當然不會將一個200頁的證明弄錯而匆忙地注釋說「在書的邊緣寫不下」。 在此還有另一個理論。劍橋大學的數學家Godfrey Hardy是一個無神論者，但也不是傳統的宗教信徒。Hardy相信上帝的數學證明是為他准備的，所以當他進行令其憎惡的坐船旅行時，會發出一封電報：「剛剛證明了黎曼猜想，但在船上無法寫下證明過程。」對質數進行復雜分析的黎曼猜想一直是數學領域最重要的仍未解決的難題。Hardy相信這樣上帝就不會讓船沉沒，因為如果船沉沒了，他將在死後得到有可能已經找到了證明方法的美譽。 也許費馬有同樣的想法，或者他可能僅僅想成名。若真如此，他的目的已經達到了。

相信數學，或相信計算機
作者:魯伊 | 2004-05-14
假如在你面前放著一堆桔子，怎麼擺放才能最節約空間？
別以為這只是困擾水果店老闆的日常煩惱之一。雖然任何人都可以憑著經驗或直覺斷定，把上一層桔子交錯著放到下一層桔子彼此相鄰的凹處，顯然要比直接一個疊一個的擺放更合理，也更節約空間。但是，誰能從數學上證明，的確不存在比這更合理的方法呢？
事實上，在400多年的時間里，由羅利爵士（Sir Walter Raleigh）最早提出的這個問題——「開普勒猜想」（Kepler』s Conjecture）——難倒了眾多數學家。雖然最新一期的《數學年刊》（Annals of Mathematics）上刊登了匹茲堡大學數學教授托馬斯·海爾斯（Thomas C Hales）1998年完成的證明論文，但此種權威數學界承認某一難題有了最終解答的通常形式，這一次似乎卻引起了更大的爭論。爭論的中心便是，你信得過一台計算機的計算結果嗎？
說起開普勒猜想的歷史，要回到1590年的某一天。在為自己的船隊出海遠征前准備物資時，沃爾特·羅利爵士突然想到:能不能根據一堆擺放整齊的炮彈的高度，推算出這些炮彈的准確數目呢？他的助手、數學家托馬斯·哈里耳特（Thomas Harriot）幾乎毫不費力的就給出了答案。然而，當更深入地思考這個問題時，哈里耳特卻發現，其中的奧秘並不那麼簡單。水手們慣常使用的擺放方式是否是最節約空間的方式？怎樣擺放球體，才能使它們佔用最少的地方？哈里耳特設想出了多種堆放模型，並在此基礎上發展出了自己的原子理論。
幾年後，在寫給著名天文學家開普勒（Johannes Kepler）的信中，哈里耳特提到了這個問題。在經過一系列的試驗之後，開普勒在1611年出版的小冊子《新年禮物——論六齣的雪花》中提出了自己對於問題正確解答的猜想:當大小相當的球體按照「面心晶體」——球心位於正方體各面的中心上——的形式，並且將第一層擺放成六角形時，它們佔用的空間最小，對空間的利用率可以超過74%。雖然開普勒沒有為自己的猜想給出證明，但他的影響力卻使該問題自此被命名為「開普勒猜想」。
開普勒猜想被提出之後，許多數學家都試圖為其給出證明。但直到200多年後，另一位偉大的數學家高斯（Carl Friedrich Gauss）才在1831年部分證明了開普勒猜想，即對於規則形狀，開普勒猜想是正確的。但在此之後，開普勒猜想的證明工作再度停滯。在1900年的國際數學家大會上，數學家大衛·希爾伯特因此將其列入了著名的「二十三個未解數學難題」之一。
1953年，匈牙利數學家拉茲洛·費耶·托斯（Laszlo Fejes Toth）指出，無論對於規則和不規則形狀，開普勒猜想的證明都可以減少到有限次數——但數目極為龐大——的計算。這就意味著，從理論上講，一種窮盡所有可能的證明方式是可行的。而一台速度足夠快的計算機就可以將這種設想變為現實。
從1992年開始，遵循著托斯的思路，當時在密歇根大學的海爾斯開始與自己的學生合作，使用計算機輔助證明開普勒猜想。在經過了6年的運算後，1998年8月，海爾斯宣布證明完成。他的全部證明包括250頁筆記，3GB的計算機程序、數據和運算結果。
雖然海爾斯的證明是如此的有異於常態，但《數學年刊》還是同意發表這篇論文。為此，《數學年刊》還特意聘請了匈牙利科學院的加伯·費耶·托斯（Gabor Fejes Toth）——拉茲洛·費耶·托斯的兒子——擔任評審委員會的負責人。
開普勒猜想並不是第一個依賴計算機獲得證明的著名數學難題。1976年，伊利諾伊大學的兩位數學家就使用計算機證明了著名的四色定理，即任何一幅地圖，只需要使用四種顏色，就能確保相鄰的兩個地區顏色不會相同。這個證明發表後，數學家們不斷地從中發現若干錯誤。雖然每一次有錯誤被發現時，研究人員都能迅速地改正這些錯誤，但這卻給許多數學家留下了非常糟糕的印象。
為了避免重蹈四色定理證明的覆轍，《數學年刊》的工作人員決定對開普勒猜想的證明進行徹底而謹慎的檢驗。但是，在花了近6年的時間驗證了海量的數據後，去年，評審委員會卻無奈地宣布放棄全面驗證開普勒猜想證明結果的計劃。他們驗證到的所有部分都絲毫無誤，但要把全部數據都一一核查清楚，卻是一件幾乎不可能完成的使命。
《數學年刊》無奈之下，想出了一種變通的解決辦法。他們打算在發表的論文之前加上一條免責條款:本證明大部分，但非全部，被驗證過。但是，這個主意卻遭到了許多數學家的批評。最後，在徵求了另一位數學家的意見後，《數學年刊》做了一個所羅門王式的決定。把論文一切兩半，刊登已經使用傳統方式驗證過的證明，捨去計算機運算的數據。
其實，圍繞開普勒猜想證明的一系列爭論，很大程度上是「數學課是否應該允許學生使用計算器」的高端版本，只不過爭論的雙方變成了專業的數學家，而價值判斷的取捨也更為困難。問題的焦點在於，如果接受了海爾斯的證明，也就意味著，假定計算機在執行計算時完全無誤，不會存在任何微小的程序錯誤。而是否真的是這樣，人類很難憑借自己的能力做出判斷。就像普林斯頓數學教授約翰·康威（John Conway）在接受《紐約時報》采訪時說的:「我不喜歡它們（計算機證明），因為你感覺不知道究竟發生了什麼。」
對於一向追求憑邏輯和運算即可判定真偽，並以明確簡潔的證明為「好的數學」的原則的數學界而言，這無疑是讓人非常難以接受的結果。更何況，計算機的運算也並非無可挑剔。英特爾公司就一直在使用校驗工具軟體檢查其計算機晶元的運演算法則，希望避免1994年奔騰晶元曾經出現過的數據運算錯誤再度發生。
不過，也有樂觀的數學家指出，既然現在最好的計算機可以在比賽中打敗世界象棋冠軍，那麼，未來的計算機也應該能夠解出難倒了最偉大的數學家的數學難題。但問題的關鍵似乎不在於此。開普勒說過，數學是惟一好的形而上學。用計算機如此形而下的方式解答他留下來的猜想，多少總有些諷刺的味道罷。

⑽ 素描圓球怎麼畫

1. 先畫出一個正方形，然後找出水平與垂直的中軸線，用直線切出內接的正八邊形。畫好輔助線條能夠幫助我們塑造繪畫對象的造型。

   

   5.將球面看成由多面體組成的，每個「面」的色調都不同，深入比較暗、灰、亮面，仔細區分其不同點。加深暗部，讓黑白灰過渡得更加自然，結合背景，將球體畫出立體感、空間感。一個圓圓的球體就完成了。