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書名:數學文化教程
作者:張奠宙
出版社:高等教育出版社
出版年份:2013-6
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只一個【數學文化】
數學文化
數學作為一種文化現象,早已是人們的常識。歷史地看,古希臘和文藝復興時期的文化名人,往往本身就是數學家。最著名的如柏拉圖和達·芬奇。晚近以來,愛因斯坦、希爾伯特、羅素、馮·諾依曼等文化名人也都是20世紀數學文明的締造者。
數學文化的存在價值
在即將公布的高中數學課程標准中,數學文化是一個單獨的板塊,給予了特別的重視。許多老師會問為什麼要這樣做?一個重要的原因是,20世紀初年的數學曾經存在著脫離社會文化的孤立主義傾向,並一直影響到今天的中國。數學的過度形式化,使人錯誤地感到數學只是少數天才腦子里想像出來的「自由創造物」,數學的發展無須社會的推動,其真理性無須實踐的檢驗,當然,數學的進步也無須人類文化的哺育。於是,西方的數學界有「經驗主義的復興」。懷特(L.A.White)的數學文化論力圖把數學回歸到文化層面。克萊因(M.Kline)的《古今數學思想》、《西方文化中的數學》、《數學:確定性的喪失》相繼問世,力圖營造數學文化的人文色彩。
國內最早注意數學文化的學者是北京大學的教授孫小禮,她和鄧東皋等合編的《數學與文化》,匯集了一些數學名家的有關論述,也記錄了從自然辯證法研究的角度對數學文化的思考。稍後出版的有齊民友的《數學與文化》,主要從非歐幾何產生的歷史闡述數學的文化價值,特別指出了數學思維的文化意義。鄭毓信等出版的專著《數學文化學》,特點是用社會建構主義的哲學觀,強調「數學共同體」產生的文化效應。
以上的著作以及許多的論文,都力圖把數學從單純的邏輯演繹推理的圈子中解放出來,重點是分析數學文明史,充分揭示數學的文化內涵,肯定數學作為文化存在的價值。
認識和實施數學文化教育
進入21世紀之後,數學文化的研究更加深入。一個重要的標志是數學文化走進中小學課堂,滲入實際數學教學,努力使學生在學習數學過程中真正受到文化感染,產生文化共鳴,體會數學的文化品位,體察社會文化和數學文化之間的互動。
那麼,如何在中小學數學教學中進行數學文化教育呢?筆者認為應該從以下幾個方面加以認識和實施。
認識數學文化的民族性和世界性
每個民族都有自己的文化,也就一定有屬於這個文化的數學。古希臘的數學和中國傳統數學都有輝煌的成就、優秀的傳統。但是,它們之間有著明顯的差異。古希臘和古代中國的不同政治文明孕育了不同的數學。
古希臘是奴隸制國家。當時希臘的雅典城邦實行奴隸主的民主政治(廣大奴隸不能享受這種民主)。男性奴隸主的全體大會選舉執政官,對一些戰爭、財政大事實行民主表決。這種政治文明包含著某些合理的因素。奴隸主之間講民主,往往需要用理由說服對方,使學術上的辯論風氣濃厚。為了證明自己堅持的是真理,也就需要證明。先設一些人人皆同意的「公理」,規定一些名詞的意義,然後把要陳述的命題,稱為公理的邏輯推論。歐氏的《幾何原本》正是在這樣的背景下產生的。
中國在春秋戰國時期也有百家爭鳴的學術風氣,但是沒有實行古希臘統治者之間的民主政治,而是實行君王統治制度。春秋戰國時期,也是知識分子自由表達見解的黃金年代。當時的思想家和數學家,主要目標是幫助君王統治臣民、管理國家。因此,中國的古代數學,多半以「管理數學」的形式出現,目的是為了丈量田畝、興修水利、分配勞力、計算稅收、運輸糧食等國家管理的實用目標。理性探討在這里退居其次。因此,從文化意義上看,中國數學可以說是「管理數學」和「木匠數學」,存在的形式則是官方的文書。
古希臘的文化時尚,是追求精神上享受,以獲得對大自然的理解為最高目標。因此,「對頂角相等」這樣的命題,在《幾何原本》里列入命題15,藉助公理3(等量減等量,其差相等)給予證明。在中國的數學文化里,不可能給這樣的直觀命題留下位置。
同樣,中國數學強調實用的管理數學,卻在演算法上得到了長足的發展。負數的運用、解方程的開根法,以及楊輝(賈憲)三角、祖沖之的圓周率計算、天元術那樣的精緻計算課題,也只能在中國誕生,而為古希臘文明所輕視。
我們應當充分重視中國傳統數學中的實用與演算法的傳統,同時又必須吸收人類一切有益的數學文化創造,包括古希臘的文化傳統。當進入21世紀的時候,我們作為地球村的村民,一定要溶入世界數學文化,將民族性和世界性有機地結合起來。
揭示數學文化內涵,走出數學孤立主義的陰影
數學的內涵十分豐富。但在中國數學教育界,常常有「數學=邏輯」的觀念。據調查,學生們把數學看作「一堆絕對真理的總集」,或者是「一種符號的游戲」。「數學遵循記憶事實-運用演算法-執行記憶得來的公式-算出答案」的模式[1],「數學=邏輯」的公式帶來了許多負面影響。正如一位智者所說,一個充滿活力的數學美女,只剩下一副X光照片上的骨架了!
數學的內涵,包括用數學的觀點觀察現實,構造數學模型,學習數學的語言、圖表、符號表示,進行數學交流。通過理性思維,培養嚴謹素質,追求創新精神,欣賞數學之美。
半個多世紀以前,著名數學家柯朗(R.Courant)在名著《數學是什麼》的序言中這樣寫道:「今天,數學教育的傳統地位陷入嚴重的危機。數學教學有時竟變成一種空洞的解題訓練。數學研究已出現一種過分專門化和過於強調抽象的趨勢,而忽視了數學的應用以及與其他領域的聯系。教師學生和一般受過教育的人都要求有一個建設性的改造,其目的是要真正理解數學是一個有機整體,是科學思考與行動的基礎。」
2002年8月20日,丘成桐接受《東方時空》的采訪時說:「我把《史記》當作歌劇來欣賞」,「由於我重視歷史,而歷史是宏觀的,所以我在看數學問題時常常採取宏觀的觀點,和別人的看法不一樣。」 這是一位數學大家的數學文化闡述。
《文匯報》2002年8月21日摘要刊出錢偉長的文章《哥丁根學派的追求》,其中提到:「這使我明白了:數學本身很美,然而不要被它迷了路。應用數學的任務是解決實際問題,不是去完善許多數學方法,我們是以解決實際問題為己任的。從這一觀點上講,我們應該是解決實際問題的優秀『屠夫』,而不是制刀的『刀匠』,更不是那種一輩子欣賞自己的刀多麼鋒利而不去解決實際問題的刀匠。」這是一個力學家的數學文化觀。
和所有文化現象一樣,數學文化直接支配著人們的行動。孤立主義的數學文化,一方面拒人於千里之外,使人望數學而生畏;另一方面,又孤芳自賞,自言自語,令人把數學家當成「怪人」。學校里的數學,原本是青少年喜愛的學科,卻成為過濾的「篩子」、打人的「棒子」。優秀的數學文化,會是美麗動人的數學王後、得心應手的僕人、聰明伶俐的寵物。伴隨著先進的數學文化,數學教學會變得生氣勃勃、有血有肉、光彩照人。
多側面地開展數學文化研究
談到數學文化,往往會聯想到數學史。確實,宏觀地觀察數學,從歷史上考察數學的進步,確實是揭示數學文化層面的重要途徑。但是,除了這種宏觀的歷史考察之外,還應該有微觀的一面,即從具體的數學概念、數學方法、數學思想中揭示數學的文化底蘊。以下將闡述一些新視角,力求多側面地展現數學文化。
1. 數學和文學。數學和文學的思考方法往往是相通的。舉例來說,中學課程里有「對稱」,文學中則有「對仗」。對稱是一種變換,變過去了卻有些性質保持不變。軸對稱,即是依對稱軸對折,圖形的形狀和大小都保持不變。那麼對仗是什麼?無非是上聯變成下聯,但是字詞句的某些特性不變。王維詩雲:「明月松間照,清泉石上流」。這里,明月對清泉,都是自然景物,沒有變。形容詞「明」對「清」,名詞「月」對「泉」,詞性不變。其餘各詞均如此。變化中的不變性質,在文化中、文學中、數學中,都廣泛存在著。數學中的「對偶理論」,拓撲學的變與不變,都是這種思想的體現。文學意境也有和數學觀念相通的地方。徐利治先生早就指出:「孤帆遠影碧空盡」,正是極限概念的意境。
2.歐氏幾何和中國古代的時空觀。初唐詩人陳子昂有句雲:「前不見古人,後不見來者,念天地之悠悠,獨愴然而涕下。」這是時間和三維歐幾里得空間的文學描述。在陳子昂看來,時間是兩頭無限的,以他自己為原點,恰可比喻為一條直線。天是平面,地是平面,人類生活在這悠遠而空曠的時空里,不禁感慨萬千。數學正是把這種人生感受精確化、形式化。詩人的想像可以補充我們的數學理解。
3. 數學與語言。語言是文化的載體和外殼。數學的一種文化表現形式,就是把數學溶入語言之中。「不管三七二十一」涉及乘法口訣,「三下二除五就把它解決了」則是算盤口訣。再如「萬無一失」,在中國語言里比喻「有絕對把握」,但是,這句成語可以聯系「小概率事件」進行思考。「十萬有一失」在航天器的零件中也是不允許的。此外,「指數爆炸」「直線上升」等等已經進入日常語言。它們的含義可與事物的復雜性相聯系(計算復雜性問題),正是所需要研究的。「事業坐標」「人生軌跡」也已經是人們耳熟能詳的詞語。
4. 數學的宏觀和微觀認識。宏觀和微觀是從物理學借用過來的,後來變成一種常識性的名詞。以函數為例,初中和高中的函數概念有變數說和對應說之分,其實是宏觀描述和微觀刻畫的區別。初中的變數說,實際上是宏觀觀察,主要考察它的變化趨勢和性態。高中的對應則是微觀的分析。在分段函數的端點處,函數值在這一段,還是下一段,差一點都不行。政治上有全局和局部,物理上有牛頓力學與量子力學,電影中有全景和細部,國畫中有潑墨山水畫和工筆花鳥畫,其道理都是一樣的。是否要從這樣的觀點考察函數呢?
5. 數學和美學。「1/2+1/3=2/5 ?」是不是和諧美?二次方程的求根公式美不美?這涉及到美學觀。三角函數課堂上應該提到音樂,立體幾何課總得說說繪畫,如何把立體的圖形畫在平面上。欣賞艾舍爾(M.C.Escher)的畫、計算機畫出的分形圖,也是數學美的表現。
總之,數學文化離不開數學史,但是不能僅限於數學史。當數學文化的魅力真正滲入教材、到達課堂、溶入教學時,數學就會更加平易近人,數學教學就會通過文化層面讓學生進一步理解數學、喜歡數學、熱愛數學。
[1] 黃毅英.數學觀研究綜述.數學教育學報,2002,1:3
❸ 數學文化相關的書籍有哪些
國內的中國科技大學王樹禾老師的《數學思想史》
國外的
克萊因的《古今數學思想》
❹ 數學文化有哪些
1.數學的理性精神
這種理性精神的養成與發展有著特別重要的意義,它是人類文明、特別是西方文明的核心所在.自第一次數學危機之後,以柏拉圖為代表的哲學家(古代哲學與數學不分家)就開始意識到人類的直觀的不可靠,數學的理性精神就開始發展.因此,在教學中,應該培養學生的獨立思考、勇於批判的精神.並以此為重點,一以貫之通過數學教學來培養人類的理性精神,而這應該是數學教育的最高境界.
2.數學思想與方法
數學是人類抽象思維的產物,是一種理性化的思維範式和認識模式,它不僅僅是一些運算的規則和變換的技巧,它的實質內容是能夠讓人們終身受益的是思想方法.因此,在教學實踐中應該始終關注數學的這個本質特徵,避免單純追求數學學習的知識化傾向,注重能力、思維的培養,讓學生終身受益.
小學階段的數學思想主要有:公理化、符號、集合、模型、化歸、恆等與不等、數形結合、函數與對應、無限等重要的數學思想.數學方法:比較、分析、綜合、抽象、概括、歸納、演繹、類化、轉化與變形、對應、假設、猜想、觀察、化簡、推理和證明等重要的數學方法.
3.數學的美
數學是美,是一種具有新的美學維度的精神空間.正如英國著名哲學家羅素說:「數學,不但擁有真理,而且有至高的美.」數學的美不象自然美、藝術美那麼鮮明、亮麗而瀟灑,甚至也不象其它社會美那麼地直觀和具體,它抽象、嚴謹、深沉、冷峻而含蓄,是一種理智的美.因此,在教學實踐中,我們應該努力發掘數學的特有的理智美,引導學生去欣賞、體會數學的美.小學階段數學的美學價值主要包括:動態美、靜態美、對稱美、不對稱美、直觀美、抽象美…….
4.數學的應用價值
數學的文化意義還不僅在於知識本身和它的內涵,還在於它的應用價值.因此,在教學中應該加強數學與實際生活的聯系,增強數學的應用性,讓學生體驗到數學的應用價值.
5.數學的歷史文化
數學文化的內涵不僅表現在知識本身,還寓於它的歷史,它是一種歷史存在.因此,在教學過程中,充分揭示數學知識產生、發展的全過程.我們認為數學既是創造的,也是發明的,大到一門學科,小到一個符號,總是在一定的文化背景下出於某一種思考而產生的.我們的數學教育應當努力還原、再現這一發現或發明的過程,探尋數學知識的源泉,重建被割裂的數學知識與現實背景的聯系.
❺ 什麼是數學文化
本系列博文試圖從「普通人」(指那些不從事數學研究、數學教學等與數學直接相關行業的人們)的視角探討數學文化。為了適合這些人的數學基礎,力爭
不以過高深的數學知識為載體
,希望具有初中知識就能讀懂。
「數學文化」一詞的出現不過20年左右,並且是逐漸進入普通人的視野的。我說的「普通人」是指那些不從事數學研究、數學教學等與數學直接相關行業的人們。越來越多的人開始關注「數學文化」一詞,並試圖了解它的准確含義,這說明它是有生命力的,也說明人們已經願意從文化的角度關注數學,更願意強調數學的文化價值。
數學本來就是與人們聯系最緊密的一個知識領域,一個「學科」。它與「語文」一樣,被認為是學習其它學科的基礎和工具,也是人們生活的最基本的技能。有人甚至說,一個人如果「不識數」要比「不識字」還難以在社會上生活,可見數學基礎知識的重要。
但是說到「數學文化」,大多數人還是很難對它有一個明晰的認識。數學文化當然不是指數學知識,不但不是指「識數」、「算術」這樣最基礎的數學知識,而且也不是指「幾何」、「代數」、「微積分」以及更高深的數學知識。
一般認為,數學文化是指數學的思想、精神、方法、觀點、語言以及它們的形成和發展。廣義上還包括數學家、數學史、數學美、數學教育、數學發展中的人文成分,
還包括數學與社會的聯系、數學與各種文化的關系,等等。
有一個比較直觀的說法:當一個人學習了許多數學知識以後,如果把所有的數學知識都忘掉或都「抽出去」,剩下的就是數學文化。而這些數學文化在人的頭腦中落戶,則形成一個人的「數學素養」。
因此,學習數學知識的目的,並不全在於它的應用,因為事實上,的確是大多數人學了高等數學以後,一輩子都沒有用到那些知識,那些概念、定理、公式幾乎都忘了,甚至中學學到的數學知識也有很多沒有用到過。但是他們在學習過程中所得到的訓練,使其思維更具條理性、敏捷性、深刻性,他們會有更多的思考方式來解決問題,他們比沒有學過這些數學知識的人要「聰明」許多,這就是數學文化在起作用。
數學文化已經引起教育界以及政府部門的高度重視,很多大學已經開設「數學文化」課程,《普通高中數學課程標准(實驗)》(教育部2003年頒發)已經正式把數學文化做為新的重要的活動內容專門提出,義務教育階段的數學課程也越來越重視數學文化的滲透。
說到這里我還想到,竟然有人提議高中文科學生可以不學數學,這顯然不僅是荒謬的,而且是與素質教育思想背道而馳的,甚至是「反智主義」。
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❽ 數學文化是指什麼
數學文化是指數學的思想、精神、方法、觀點、語言,以及它們的形成和發展。除上述內涵以外,還包含數學家,數學史,數學美,數學教育。數學發展中的人文的成分、數學與社會的聯系、數學與各種文化的關系等等。
數學的內涵包括用數學的觀點觀察現實,構造數學模型,學習數學的語言、圖表、符號表示,進行數學交流。通過理性思維,培養嚴謹素質,追求創新精神,欣賞數學之美。數學文化離不開數學史,但是不能僅限於數學史。當數學文化的魅力真正滲入教材、到達課堂、溶入教學時,數學就會更加平易近人,數學教學就會通過文化層面讓學生進一步理解數學、喜歡數學、熱愛數學。
❾ 數學文化
數學有著悠久的歷史,我國在遠古時代就有著豐富的數學知識,數學是在日常生活中不斷積累而形成的,我們的生活處處是數學,我們也離不開數學